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12.03.

Denksport

GJ Woeginger

Olympische Medaillen 2010

Bei den Olympischen Winterspielen 2010 in Vancouver
wurden viele Medaillen vergeben. Die Wikipedia-Seite
http://en.wikipedia.org/wiki/2010_Winter_Olympics
enthaelt folgende Tabelle:
-----------------------------------------
--------------- G - S - B - Total ------
1 Canada    14   7   5 26
2 Deutschland 10 13   7 30
3 USA    9 15 13 37
4 Norwegen 9   8   6 23
5 Sued-Korea 6   6   2 14
-----------------------------------------

Die Web-Seite http://www.nbcolympics.com/ listet
die Nationen in einer anderen Reihenfolge:
-----------------------------------------
--------------- G - S - B - Total ------
1 USA    9 15 13 37
2 Deutschland 10 13   7 30
3 Canada    14   7   5 26
4 Norwegen 9   8   6 23
5 Oesterreich   4   6   6 16
-----------------------------------------

Die Reihenfolge in der ersten Tabelle erhaelt man, wenn
man (zum Beispiel) jede Goldmedaille mit 100 Punkten, jede
Silbermedaille mit 1 Punkt, und jede Bronzemedaille mit
1/100 Punkt bewertet.
Die Reihenfolge in der zweiten Tabelle erhaelt man, wenn
man jede einzelne Medaille mit 1 Punkt bewertet.

FRAGE:
Gibt es eine Punktewertung, die Gold/Silber/Bronze drei
entsprechende nicht-negative reelle Zahlen g/s/b zuweist,
und dadurch Deutschland auf den ersten Platz der
Nationenwertung bringt?

___________________________________________________________
Gerhard J. Woeginger    http://www.win.tue.nl/~gwoegi/

...

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07.03.

Denksport

Rainer aus dem Spring

pi(n) = phi(n)

Für eine natürliche Zahl n sei

pi(n) die Anzahl der Primzahlen <= n
und
phi(n) die Anzahl positiver natürlicher Zahlen <= n die Teilerfremd zu n sind.

Finde alle natürlichen Zahlen n mit

pi(n) = phi(n)

Rainer aus dem Spring

...

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06.03.

Denksport

GJ Woeginger

[Matx]#457: Summe=5842

Gibt es eine Teilmenge der zehn Zahlen

267 493 869 961 1000 1153 1246 1598 1766 1922

deren Elemente sich zur Summe 5842 aufaddieren?

___________________________________________________________
Gerhard J. Woeginger http://www.win.tue.nl/~gwoegi/

...

04.03.

Denksport

Wolfgang Thumser

[Matx] Kreiserhaltung

Gegeben sei eine bijektive Abbildung der Ebene auf sich,
welche Kreise stets auf Kreise abbildet. Man zeige, dass
diese Abbildung auch Geraden auf Geraden abbildet.

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04.03.

Denksport

GJ Woeginger

[Matx]#456: Umfang und Flaeche

Bestimme alle Rechtecke mit Umfang 13 und
ganzzahliger Flaeche!

___________________________________________________________
Gerhard J. Woeginger http://www.win.tue.nl/~gwoegi/

...

04.03.

Denksport

GJ Woeginger

[Matx]#455: f(f(f(f(f(x)))))

Es sei f(x)= x^2 + 8x + 12.

Bestimme alle reellen Zahlen x mit
f(f(f(f(f(x))))) = 0.

___________________________________________________________
Gerhard J. Woeginger http://www.win.tue.nl/~gwoegi/

...

04.03.

Denksport

Jens Voß

#455: f(f(f(f(f(x)))))

On 4 Mrz., 14:07, gwo...@figipc78.tu-graz.ac.at (GJ Woeginger) wrote:
Es sei f(x)= x^2 + 8x + 12.

Bestimme alle reellen Zahlen x mit
f(f(f(f(f(x))))) = 0.

Mit brute force kriege ich als Lösungsmenge..........
...........
..........
.........
........
.......
......
.....
....
...
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..

die einelementige Menge { 2^(1/16) - 4 }

(also ungefähr {-2,955726})

Gruß,
Jens

...

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04.03.

Denksport

GJ Woeginger

[Matx]#454: Wuerfel in 4D

Die drei Punkte A,B,C mit

A = (4,14, 8,14)
B = (6, 6,10, 8)
C = (2, 4, 6, 8)

bilden drei der acht Eckpunkte eines Wuerfels
im vierdimensionalen Raum.

Bestimme den Mittelpunkt dieses Wuerfels!

___________________________________________________________
Gerhard J. Woeginger http://www.win.tue.nl/~gwoegi/

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02.03.

Denksport

Jens Voß

Ähnliche Dreiecke

On 25 Feb., 17:50, Jan Fricke <fri...@mathematik.uni-siegen.de> wrote:

Man bestimme alle natürlichen Zahlen n>1, so dass es n paarweise nicht
ähnliche Dreiecke gibt, wobei sich jedes dieser Dreiecke wieder in n
kleinere paarweise nicht ähnliche Dreiecke zerlegen lässt, die zu den
ursprünglichen Dreiecken ähnlich sind.

Ich habe noch keine Lösung, aber ich weiß bislang, qnff rf zvg mjrv haq
qerv Qervrpxra trug.

Viele Grüße Jan

Hallo Jan,

gelten hier gespiegelte Dreiecke als ähnlich? Dann krieg ich zumindest
den ersten Teil Deiner Lösung auch schon mal hin...

Hübsche Aufgabe!

Schönen Gruß,
Jens

...

02.03.

Denksport

GJ Woeginger

[Matx]#453: AUs dem Jahre 1989

Bestimme alle positiven ganzen Zahlen n,
fuer die

n^{n^{n^n}} - n^{n^n}

durch 1989 teilbar ist!

___________________________________________________________
Gerhard J. Woeginger http://www.win.tue.nl/~gwoegi/

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02.03.

Denksport

herbert gruen

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01.03.

Denksport

GJ Woeginger

[Matx]#452: Quadratzahl und Polynom

Bestimme alle ganzen Zahlen x, fuer die

x^4 + x^3 + x^2 + x + 1

eine Quadratzahl ist!

___________________________________________________________
Gerhard J. Woeginger http://www.win.tue.nl/~gwoegi/

...

01.03.

Denksport

Vogel

Kugeln abwiegen

Man hat 12 Kugel. Eine davon hat ein verschiedenes Gewicht als die
restlichen.
Mit 3-maligem Abwiegen untereinander soll man die Kugel unterschiedlichen
Gewichts herausfinden. Man hat dazu eine Balkenwaage ohne Gewichte und ohne
Meßskala zur Verfügung.

--
Selber denken macht klug.

...

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27.02.

Denksport

GJ Woeginger

[Matx]#448b: Zwei Primzahlen, Teil 3

Bestimme alle Primzahlen p und q mit

2*(q^p) - (p^q) = 7.

___________________________________________________________
Gerhard J. Woeginger http://www.win.tue.nl/~gwoegi/

...

27.02.

Denksport

Wolfgang Thumser

[Matx] Teilbarkeit 2

Hallo Alfred, Rainer und Wolfgang,

Feine Aufgabe. Dank Rainers sensibler Makula wurde von Dir ein Beweis gefunden.

Die Aufgabe wurde mir von einem Kollegen gestellt, der sie
wiederum von einem aelteren Mathematikwettbewerb kannte.
Ich bin bei der Loesung aehnlich vorgegangen wie Rainer und
habe mir fuer a,b < 1000 zunaechst eine vollstaendige
Uebersicht ueber alle Loesungen verschafft. Man erkennt
dann leicht fuer eine Teilmenge ein rekursives Bildungs-
gesetz, aus dem sich die Behauptung ableiten laesst.

Man muss bedenken, dass solche Aufgaben "Kunstprodukte" einer
dahinter stehenden Theorie sind. Die entscheidende Gesetz-
maessigkeit a_n^2-5=a_{n-1}a_{n+1} (die sich in aehnlicher Weise
fuer viele lineare Rekursionen aufstellen laesst, vgl. auch die
Fibonacci Folge) wird durch a|b^2-5 und b|a^2-5 bis zur Unkenntlich-
keit entstellt, so dass der "Schluessel" zur Loesung erst wie
die Stecknadel im Heuhaufen gesucht werden muss (auch von mir an
dieser Stelle ein grosses Lob an Rainer fuer die beeindruckende
Suche).

Gibt es weitere Folgen mit Bildungsgesetz, die die Aufgabe lösen? Ist ein Beweis bekannt, der so etwa funktioniert wie "wenn a, b Lösungen sind, dann auch f(a) und g(b)" (f, g als Funktionen, ohne Nutzung bekannter/berühmter Folgen)? Gibt es einen Beweis, der direkt die Teilbarkeit und Unendlichkeit nachweist, z. B. über Primzahlzerlegung, also ohne Ansatz spezieller Zahlendarstellung wie bei Binet und Lucas?

Ich halte diese Fragen fuer schwer zu beantworten, da die
weiteren Loesungen a,b keiner so einfachen Gesetzmaessigkeit
zu gehorschen scheinen und durch "Abstraktion" in das "Kunstprodukt"
hinein geraten sind.

Einfacher scheint da schon ein Beweis der Aussage:

Fuer keine Primzahl p ist 2^p + 3^p eine Potenz n^k mit k>1

Gruss Wolfgang

...

26.02.

Denksport

Vogel

Diophantische Gleichung

Vogel <vogel@hotmail.com> wrote in news:Xns9D2BC76FD7647matahari@
130.133.4.10:

gwoegi@figipc78.tu-graz.ac.at (GJ Woeginger) wrote in news:hm15ep$rmh$1
@mud.stack.nl:

Bestimme alle natuerlichen Zahlen n,
fuer die 1+2^n durch n^2 teilbar ist!

Interssenshalber veröffentliche ich die Lösung auch hier.

1+2^n = k * n^2
ln(1+2^n) = ln(k) + 2*ln(n)

Da kann es nur zwei ganzzahlige Lösungen geben, da der Logaritmus einer
ganzen Zahl immer irational ist, ausser bei 1, weil e irational ist.
Also einmal für n=1 und einmal für k=1. Da muss man dann sehen ob es für
den anderen Parameter eine ganzzahlige Lösung gibt.

--------------------
k=1
ln(1+2^n) = 0 + 2*ln(n)
n=3

--------------------

----------------------
n=1
ln(1+2) = ln(3) + 0
k=3

Andere Ganzzahlige Lösungen kann es nicht geben, aus oben erwähntem
Grund.

--
Selber denken macht klug.

...

25.02.

Denksport

Wolfgang Thumser

[Matx] Teilbarkeit

Man zeige, dass es unendlich viele, teilerfremde
natuerliche Zahlen a,b gibt mit der Eigenschaft:

a teilt b^2-5 und
b teilt a^2-5

Gruss Wolfgang

...

25.02.

Denksport

Rainer aus dem Spring

Ruhe sanft

Ein Student wacht am Ende der Vorlesung auf und bekommt gerade noch mit wie der Professor sagt

"... und die Wurzeln bilden eine arithmetische Folge."

Auf der Tafel steht als Hausaufgabe ein Polynom 5. Grades, aber leider schafft es der Student nur noch

x^5 - 5x^4 - 35x^3 +

abzuschreiben, bevor der Professor die Tafel abwischt.

Aber unserer Student findet trotzdem alle Wurzeln des Polynomes.

Nämlich?

Rainer aus dem Spring

...

25.02.

Denksport

Alfred Flaßhaar

labos@ana.sote.hu

Hello from Germany,

in OEIS I found Your A087968 and I am interested in this sequence. Please can I get a hint on a source concerning a proof, that the only integers are 1 and 3 the only, for which the term (2^n+1)/n^2 is an integer?

It is not a homework and it will not be used in any another way. I am only an old mathematician who wants to be fresh in his head.

Regards, Alfred Flaßhaar

...

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25.02.

Denksport

buffalo

#447: Zwei Wurzeln mit Produkt 1

On 20 Feb., 14:28, gwo...@figipc78.tu-graz.ac.at (GJ Woeginger) wrote:
Zeige, dass die Gleichung

x^6 - 15*x^3 - 8*x^2 + 2

zwei Wurzeln besitzt, deren Produkt 1 betraegt!

___________________________________________________________
Gerhard J. Woeginger http://www.win.tue.nl/~gwoegi/

Also ganz genau krieg ichs aufn ersten Anlauf auch nicht hin, aber
paar Hinweise:
1) a(5) = a(4) = (a(1) = 0 hilft schon mal bissi weiter, wenn man mit
den sigmas rechnen will (puuh!).
2) a(0) = 2; bei 6. Grad (6 Nullstellen) hat man mit Vieta 2 x(1)*...*x(6).
3) Da x^6 - 15*x^3 - 8*x^2 + 2 = (x^2-3*x+1)*(x^4+3*x^3+8*x^2+6*x+2),
wie Alfred ganz richtig bemerkte, ergibt sich mit erneuter Anwendung
von Vieta oBdA x(1)*x(2) = 1 - denn die additive Konstante des einen
Teilpolynoms ist ja gerade 1. Also auch ohne die Nullstellen explizit
zu kennen wäre so (fast ohne Rechenaufwand) der Fall klar. Das Produkt
der zweiten 4 Nullstellen ergibt dann natürlich 2. Man muß halt
_zweimal_ Vieta anwenden ...
Wie das ohne Faktorisierung des Polynoms gehen soll, seh ich aber auch
nicht. Dann wird der Rechenaufwand mit den ganzen sigmas da wirklich
gigantisch (bin isch zu faul für).

knappe Grüße, Wolfgang.

...

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25.02.

Denksport

buffalo

#451: Russisches Polynom

On 24 Feb., 12:39, gwo...@figipc78.tu-graz.ac.at (GJ Woeginger) wrote:
Bestimme die kleinstmoegliche positive ganze Zahl
p mit folgender Eigenschaft:

Es gibt ein Polynom P(x) mit ganzzahligen
Koeffizienten, sodass p=P(1)=P(3)=P(5)=P(7)
und -p=P(2)=P(4)=P(6)=P(8).

___________________________________________________________
Gerhard J. Woeginger http://www.win.tue.nl/~gwoegi/
..
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..
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s
p
o
i
l
e
r
..
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s
p
o
i
l
e
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..
Startüberlegung: P(x) hat mindestens 3 Maxima und 3 Minima (je eines
am Rand muß kein Max/Min sein), hat also mindestens Grad 7 (Anz Max/
Min + 1). Und es ist sowas wie eine Sinusfunktion. Nun denn, erster
Tip, ganz ausm hohlen Bauch: P(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7!
(nullte Näherung, sinus-Reihe nach dem 4. Glied abgebrochen, erst mal
mit p=1). Mit y = pi*(x-1/2) ergibt sich sin(pi*(x+1/2)) ~ y - y^3/3!
+ y^5/5! - y^7/7!, und damit kriegt man den Kurvenverlauf qualitativ
hin (statt p haben wir hier als Funktionswerte natürlich noch ±1). Da
fällt mir auf - mit dem cos gehts ja auch! Und gerade ohne die lästige
-1/2 im Argument. Blöd ist nur die Wahl des Entwicklungspunkts und der
Umstand, daß sin und cos transzendente Funktionen sind. Erste
Vermutung: Geht nich. Zumindest so nich.

Zweiter Ansatz: Nehmen wir mal 7. Grad an. Man nehme alle Ableitungen
bis zur 7. von P(x) = ax^7+bx^6+...+gx+h, und siehe da, es funzt doch.
y = -8/315*x^7 +4/5*x^6 -464/45*x^5 +70*x^4 -12056/45*x^3 +2856/5*x^2
-64864/105*x +255 (sagt mir zumindest Maple) für p=1 (na ja, halt mal
antesten mit 7 unbekannten Koeffizienten, wie üblich). Hauptnenner ist
315 = 3^2*5*7 und der Rest nicht mehr schwer.

halb gelöste Grüße, Wolfgang.

...

24.02.

Denksport

GJ Woeginger

[Matx]#451: Russisches Polynom

Bestimme die kleinstmoegliche positive ganze Zahl
p mit folgender Eigenschaft:

Es gibt ein Polynom P(x) mit ganzzahligen
Koeffizienten, sodass p=P(1)=P(3)=P(5)=P(7)
und -p=P(2)=P(4)=P(6)=P(8).

___________________________________________________________
Gerhard J. Woeginger http://www.win.tue.nl/~gwoegi/

...

23.02.

Denksport

GJ Woeginger

[Matx]#448: Zwei Primzahlen, Teil 2

(Da die Diskussion in diese Richtung gegangen ist...)

Bestimme alle natuerlichen Zahlen n,
fuer die 1+2^n durch n^2 teilbar ist!

___________________________________________________________
Gerhard J. Woeginger http://www.win.tue.nl/~gwoegi/

...

22.02.

Denksport

GJ Woeginger

[Matx]#450: Russische Polygone

Ein ebenes Polygon P heisst russisch, falls P nicht-leeren
Flaecheninhalt hat, einen Umkreis hat (auf dem alle Ecken
von P liegen), und einen Inkreis hat (der alle Kanten von
P beruehrt).

Ein russisches Polygon mit n Seiten wird durch eine Gerade
in zwei russische Polygone mit s und t Seiten zerschnitten,
wobei s ungleich t ist.

Bestimme alle moeglichen Werte von n!

___________________________________________________________
Gerhard J. Woeginger http://www.win.tue.nl/~gwoegi/

...

22.02.

Denksport

Rainer Rosenthal

Klingt wie achtzehn-achtzehn

Gesucht ist eine Uhrzeit.
Spricht man sie aus, klingt es wie "achtzehn-achtzehn".
Es handelt sich aber nicht um die Uhrzeit 18:18 sondern
ich meine eine andere.

Gruß,
Rainer Rosenthal
r.rosenthal@web.de

...

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22.02.

Denksport

simon say

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21.02.

Denksport

GJ Woeginger

[Matx]#449: Zwei Wurzeln mit Summe=Produkt

Es seien a und b zwei reelle Zahlen, sodass die
Gleichung

x^4 - 4*x^3 + 4*x^2 + ax + b = 0

zwei verschiedene reelle Wurzeln x_1 und x_2 besitzt
mit x_1*x_2=x_1+x_2.

Zeige:
Dann besitzt die Gleichung keine weiteren reellen Wurzeln.

___________________________________________________________
Gerhard J. Woeginger http://www.win.tue.nl/~gwoegi/

...

20.02.

Denksport

GJ Woeginger

[Matx]#447: Zwei Wurzeln mit Produkt 1

Zeige, dass die Gleichung

x^6 - 15*x^3 - 8*x^2 + 2

zwei Wurzeln besitzt, deren Produkt 1 betraegt!

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Gerhard J. Woeginger http://www.win.tue.nl/~gwoegi/

...

20.02.

Denksport

GJ Woeginger

[Matx]#448: Zwei Primzahlen

Bestimme alle Primzahlen p und q, fuer die

2^p + 2^q

durch pq teilbar ist!

___________________________________________________________
Gerhard J. Woeginger http://www.win.tue.nl/~gwoegi/

...

19.02.

Denksport

GJ Woeginger

[Matx]#445: Fuenf ganze Zahlen

Bestimme alle ganzen Zahlen a,b,c,d,e mit folgenden
Eigenschaften:

Die fuenf Zahlen sind paarweise verschieden.

Wenn man jeweils zwei der fuenf Zahlen mit einander
multipliziert, so erhaelt man die zehn Produkte
6, 10, 15, 24, 36, 42, 60, 105, 63, 252.

___________________________________________________________
Gerhard J. Woeginger http://www.win.tue.nl/~gwoegi/

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